自动控制理论 第三章 控制系统的时域分析 3.7 控制系统的数值分析

发布日期:[15-02-08 14:04:00] 浏览人次:[]

3.7 控制系统的数值分析

在控制系统的时域分析中,求取高阶系统的响应时间是一件十分困难的工作。而利用计算机,则可以方便地求出系统在一系列时刻上瞬态响应的数值解,并且可以满足精度上的要求。这就是控制系统的数值分析法。
不论高阶微分方程或是状态空间表达式,都有微分方程的求解问题。对n阶微分方程求解,必须进行n次积分运算。所以,数值积分法就成为控制系统数值分析的最基本算法。
设一阶微分方程为

初始条件为

把方程改写为

           (3.125)

如果我们把积分区间划分为若干子区间:,,,,对方程(3.125)两边从积分

可以得到时刻的值

               (3.126)

求出后,则可以根据再求出的值

按同样的方法依次递推,就可以一步一步计算出整个积分区间内一系列时刻的方程的数值解
在上述计算中,积分区间时间段的划分一般是均匀划分,我们称相邻两个时刻的时间间隔为计算步长,用h表示,则有
实际上式(3.126)那样的递推公式是不能计算出结果,因为方程右边含有未知函数。从微分方程

知道在t时刻的切线斜率。要使式(3.126)能够计算,必须设法确定时刻段上的斜率。在计算步长取得足够小时,我们可以认为区间是一个常数。怎样寻求这个常数值f,有多种方法。最简单的一种方法是认为区间的斜率等于函数在时刻的斜率,即

则(3.126)式因而可以写成

           (3.127)

因为f在区间内是常量,所以式(3.127)就变为

             (3.128)

推广到一般表达式

          (3.129)

式中

这就是最简单的数值积分方法——欧拉法。
欧拉法由于算法简单,误差较大,实际计算中很少使用。
工程上应用较普遍的一种数值积分法是四阶龙格-库塔(Rungekutta)法。四阶龙格-库塔法的计算公式为

         (3.130)

式中

四阶龙格-库塔法在计算常量f时,不像欧拉法那样只取时刻的斜率代替整个区间的斜率,而是以不同方法计算出4个斜率值 并进行加权平均。这样的道德平均斜率更接近于原来的曲线,因而精度较高。
当系统的数学模型是微分方程或传递函数时,一般先要变换成状态空间表达式。因为上述数值积分法是一阶微分方程的积分法,而状态方程的各方成都是一阶微分方程,只需对每一个方程进行重复平行的计算就可以了。

图3.25 状态方程数值积分程序框图

图3.25 状态方程数值积分程序框图

图3.25是状态方程求数值解的一个程序流程图。
数值积分的实用程序在很多书中都有介绍,针对控制系统数值分析还专门开发了许多软件,用户可以很方便的根据状态方程或系统结果图进行编程分析。
在控制系统的数值分析中,计算步长的选择很重要。步长选得过大,计算精度较低。步长选得过小,计算量大。应用四阶龙格-库塔法,根据经验,可选

式中是控制系统的调节时间。
数值分析只能得到控制系统离散的数值响应,不可能得到解析解,这不利于研究系统的内在规律。
控制系统的动态特性,稳态特性性能指标,可以按定义从数值解中求出。
控制系统的数值分析方法又称为控制系统的数字仿真。在控制系统的分析与设计中,数字仿真技术应用十分普遍,已成为时域分析法中一种重要的方法。

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