Matter 2, 123{135 c Springer-Verlag 2000

Marc L¨atzel, Stefan Luding, Hans J. Herrmann

从准静态的宏观材料性质，到二维剪切单元的微观仿真

概要 在粒状问题的领域中，其中一个本质问题是怎样获得肉眼可见的张量，就像在“显微镜”下看到数量一样，比如一个微粒组合中的接触力。为了获得大量的片断，协调数和结构性质，我们提出，测试和使用了很多不同的平均策略。我们重新为压力张量制定了一个有价值的关联，使之能够从不连续的仿真要素和适应性的意见中直接了当地计算平均应力。此外，我们根据一个最好的假设，制定了一个可逆的平均梯度置换。最后，我们用张量数的不同结合物来计算一些材料的性质。

容积柔性模数,也就是刚性那成粒状，它的结构张量的轨迹是一个一次函数，它本身与密度和协调数是成比例的。结构, 应力和应变张量是非线性的，这是为了让一个更加精确的分析能够超过古典的柔性理论。

关键字 巨大的转变，DEM模型，连续介质理论，压力，各向异性剪切

1 介绍

为了描述系统的状态应力，应变和其他的实际量依赖构成的方程式，制定了描述微粒介质性态的宏观的连续的方程式。为了获得一个平均的宏观数量，一个可能的方法是执行不连续粒子的仿真和在仿真中超过平均“用显微镜可见的”数量。在文献中，对于应力和平均规程的应变来说，些微不同的清晰度都能被发现。

这一项研究的要点是依下列各项。在第 2 节中讨论了不连续的机械要素仿真方法,在第 3 节中对标量来说介绍和应用一些平均方法, 即容积分数。在第 4 节包含了一些解说和结构性质，应力，柔性应变的平均策略，在第 5 节中从第 4 节的结果中获得了一些材料性质。

2 模型不连续的微粒物

粒状材料的基本单元是双齿。为了要解释被排除的容积，可以假设双齿是难以渗透的但是会在压力下变形。因为在连续性理论的构架中，微粒物的现实变形模型化会变得更加太复杂，所以我们使交互作的两个力和微粒物重搭使之产生关联。注意根据重叠原理来评价那些被埋藏的粒子力，可能不可以充分地解释微粒里面的非线性应力。因此，现在我们下面的结果是根据假设而得出的一样的性质。

使用的力定律是由微粒材料决定的，包括像杨氏模数这样的工具，而且必须与实验的测量来进行比较，使之有效。

当所有的力 在颗粒 i 上的起作用,据知的有从其他的微粒物,有从边界或从外力，问题被简化成牛顿运动方程的平移和自由回转的综合。大量的微粒 i 的直径是

（1）

质量是 m i ，而它的惯性力矩是 ，它的半径是 而无因次的形象因数是 q i 。矢量 r i 和 给定了微粒 i 的位置和方向 ， 在我们的模型中，疏忽了吸引力和其他状态时出现的力，我们把重心集中在 “ 干的粒状介质 ” 。颗粒 - 颗粒的交互作用只是在很小的范围内积极的接触。由于其他的每一个微粒物是力 ，所以总的力（力矩）遍及所有颗粒 i 接触地方。它的力矩 是由所涉及的力 与从粒子中心到接触点C的向量 相乘而得到的。从方程(1)的三维六个方程式减少到二维(2 D)的三个方程式，两个方程式用作平移而另一个用作自由度回转。在下列各项中力定律 用来说明排除容积，分散和引入摩擦力。

2．1 力定律

只有当它们保持接触的时候，微粒物体i才和微粒物体j互相影响，以确定它们 与单元向量 从j到i相互交迭。符号‘. ’ 指向量的乘积。

作用在微粒i上的力的第一个影响是来自微粒j的排斥力

（2）

而 是与材料的柔性系数成比例，它的单位是N/m。因为我们对圆板而并非球体感兴趣，所以我们根据虎克定律使用一个线性的弹簧, 然而在弹性球体的情况下,赫兹接触定律会更加合适 [18,19]。

第二个影响是在法线方向上被阻尼力所吸引

（3）

其中 是法线方向上的粘性系数，它的单位是 ，而 在法线方向和 相一致。

接触力的第三个作用是，根据库仑定律，能够在最简单的情况下选择切向摩擦力，如 ，其中 是摩擦系数，而 是与所构成的相对速度 的切线方向相平行的单位向量。因为这些导致一些数字问题，比如一个小的 被加到了有规则的黏着力 上去了，通过获取最小值，这两个力被结合起来。

（4）

一个更加现实的切线定律的结果将会被报告到其它地方，因为下面介绍了边界条件，所以解释一下底部和单位向量在微粒的速度 方向上产生的摩擦力也是必要的。底部的磨擦力的作用在[22]中也被讨论了。在概要中，我们把作用在微粒i上的力和微粒j通过接触点c产生的力结合起来。

（5）

（6）

2．2 模型系统

在这个仿真研究中所呈现的，利用了一个二维的库爱特剪切单元填满了一个包装好的圆盘，如图 1 所绘草图，下面的系统通过内环的旋转被缓慢地剪切。通过2.1节所介绍的力定律，在表 1 中概述了微粒的性质。边界条件是根据实验[23-25]得出的. 其他仿真的详细资料，见[22,24].

在仿真中检查到了剪切单元的不同球形体片段，在方程式（7）中它的和超出所有的粒子 p 在单元中体积 和 。在这一项研究中通过改变颗粒的数目 被设定在0.8084 和 0.8194之间，见表2。对于球型体积破面的计算，被黏到铸壁的小微粒物只以它们体积的一半来计算，而且这样有助于把速度 和 相统一。

(7)

注意我们使用短语“容积”和“容积破面”，而且严格来说，不熟悉的情况下，

“圆盘面积” 和“面积破面”都可以被用。这样选择的理由是: (i)在研究中讨论的方法被直接推广到三维空间中去了。（ii） 因为微粒是一个有高度h的三维物体，所以使用“体积”这个词是正确的。

表1.微型材料的模型参数

特性	数值
直径 ，质量	7.42 mm , 0.275 g
直径 ，质量	8.99 mm , 0.490 g
颗粒直径	2.50 mm
系统/圆盘高h	6 mm
正常弹簧衡量系数	352.1 N/m
粘性系数	0.19 kg /s
切线粘性阻尼	0.15 kg /s
静摩擦系数	0.44
底摩擦力系数
材料密度

表2. 论文中仿真研究的详细资料

球型容积破面		微粒物的数目
		小的	大的
A	0.8084	2511	400	335	5
B	0.8103	2520	399	119	1
C	0.8133	2524	404	119	1
D	0.8149	2545	394	119	1
E	0.8180	2538	407	505	5
F	0.8194	2555	399	119	1

2.3初始条件和稳态情形

仿真是在延伸的外环 变弱时开始的，而内环已经以恒定的角频率 逆时针旋转，它的周期为 。使用延伸外环是为了考虑随意的，变弱的初始结构。所期望的密度就通过减少体积而得到。外环半径被减少到大概两秒来达到它的期望值 。然后，外环被固定住而内环继续旋转直到 ，然后仿真结束。如果不确切地说,平均数在 的旋转期间中被执行，（为了摆脱最初随意的结构）而且大约在这个旋转期间内，直到t=119s。

3.从微观到宏观的描述

在前面的段落中，微粒观点是为了解决离散元素问题而被提出来的。当微粒物开始接触的时候力学系统。对于离散模型来说，像应力和变形梯度那样地张量并不是必须的。然而，当前的研究主题是，它们被看作互相影响的独立实体。在这一个结构中，那些被发现的互相接触的力可以充分地去模仿动力学和静通过计算像压力 和张力 ，还有梯形材料性质比如体积和剪切模数［7，9，10］那样地张量来建立一个连续地通信理论.在这个处理过程中，我们首先以材料密度为例子来讨论一下平均策略。

3.1平均策略

在粒状材料中，大部分的可测量在短距离内剧烈地变化。因此，计算处理平均数或抑制波动是很必要的。为了抑制波动，我们在时间和空间上都平均地处理。这可能是由于选择了边界条件。系统能长时间地运行在准稳态情况下，由于圆柱地对称性，从起点到那些点地一段确切的距离R是互相相等的。因此,平均数通过快照在时间 获得，而从内环到材料的外环的距离 。平均环的宽度是 ，从而使每个环的平均容积为 。为了简单一点（而且因为规则对对称圆柱来说是不受限制的),平均容积在下面用 来表示。因为环的数目是有限的，它从s=0到B-1，其中 ，环s是从 到 。不知何故，许多快照上的平均数会等于全体的平均数。然而，就像在3.4节中被讨论的那样，我们没有必要互相独立地解释那些快照。在仿真期间，也可能没有充分解释空间中有代表性地部分。

根据相应粒子i的笛卡尔位置 ，我么通过向量的定向旋转来解释圆柱体的对称性。颗粒 i 的方向是 其中 ，为了能在间隔 中找到 ，可以使 连续的周期性的出现。接触电c到微粒i所对应的向量 在被用作一个平均数之前，把它旋转一个角度 。注意这不符合在标准正交圆筒体内的变换。

最后，我们应该注意很多对平均程序的极端假设也是事实，如微粒上的所有的数量被抹去。因为它不能达到解决微粒内部应力的目的，所以我们假设微粒内的标准量是恒定的。这对于密度来说是完全正确的，但并不能以此为例子来说明应力。尽管如此，因为我们把从起点到所有距离类似的位置平均分配,也就是通过微粒和环内不的同位置分配平均数，微粒中附属配置的详细资料将会被抹去。就在最近I.Goldhirsch提出了一个有选择性的方案，他把各个微粒的中心用绳子连接起来，抹去了平均量，根据每一段测出了它的平均体积。